CCF CSP 201509-4.高速公路

问题描述

　　某国有n个城市，为了使得城市间的交通更便利，该国国王打算在城市之间修一些高速公路，由于经费限制，国王打算第一阶段先在部分城市之间修一些单向的高速公路。
　　现在，大臣们帮国王拟了一个修高速公路的计划。看了计划后，国王发现，有些城市之间可以通过高速公路直接（不经过其他城市）或间接（经过一个或多个其他城市）到达，而有的却不能。如果城市A可以通过高速公路到达城市B，而且城市B也可以通过高速公路到达城市A，则这两个城市被称为便利城市对。
　　国王想知道，在大臣们给他的计划中，有多少个便利城市对。

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示城市和单向高速公路的数量。
　　接下来m行，每行两个整数a, b，表示城市a有一条单向的高速公路连向城市b。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示便利城市对的数量。

样例输入

5 5
1 2
2 3
3 4
4 2
3 5

样例输出

样例说明

　　城市间的连接如图所示。有3个便利城市对，它们分别是(2, 3), (2, 4), (3, 4)，请注意(2, 3)和(3, 2)看成同一个便利城市对。

评测用例规模与约定

　　前30%的评测用例满足1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 1000；
　　前60%的评测用例满足1 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ m ≤ 10000；
　　所有评测用例满足1 ≤ n ≤ 10000, 1 ≤ m ≤ 100000。

分析：

本题考察图的强连通分量。

我们只需要统计出在n个城市组成的图中，有多少个强连通分量，每个强连通分量有多少个城市，然后使用高中数学的组合公式，就能够计算出便利城市对的数量。
$$
C_n^2 = \frac{n \times (n-1)}{2 \times 1}
$$
求解有向图中的强连通分量，可以采用tarjan（塔扬）算法。

#include <cstdio>
#include <stack>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAX = 10001;
int deep = 0, result = 0;
int low[MAX], dfn[MAX];
bool visited[MAX];

stack<int> st;
vector<int> graph[MAX];

void tarjan(int u) {
	low[u] = dfn[u] = ++deep;
	visited[u] = true;
	st.push(u);
	for (int i = 0; i < graph[u].size(); i++) {
		int v = graph[u][i];
		// v未访问
		if (dfn[v] == 0) {
			tarjan(v);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
		} else if (visited[v]) { // v已被访问，且尚在栈中
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if (dfn[u] == low[u]) {
		int x, count = 0;
		do {
			x = st.top();
			st.pop();
			count++;
			visited[x] = false;
		} while (u != x);
		result += count * (count - 1) / 2;
	}
}

int main() {
	int n, m, a, b;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	while (m--) {
		scanf("%d %d", &a, &b);
		graph[a].push_back(b);
	}

	fill(low, low + n + 1, 0);
	fill(dfn, dfn + n + 1, 0);
	fill(visited, visited + n + 1, false);

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (dfn[i] == 0) {
			tarjan(i);
		}
	}
	printf("%d\n", result);
	return 0;
}